Повышение точности тензометрических измерительных преобразователей в динамических режимах с использованием аппарата вейвлет-преобразования


УДК 53.082.13
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Т.В. Быкова, аспирант кафедры авиационных приборов и измерений Национального аэрокосмического университета им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков
Г.А. Черепащук доцент кафедры авиационных приборов и измерений Национального аэрокосмического университета им. Н. Е. Жуковского «ХАИ», г. Харьков

Предложен метод коррекции результатов измерений тензометрических измерительных преобразователей, работающих в динамических режимах, состоящий в построении корректирующего оператора в базисе вейвлет-функций.
Results correction method of tensometric measuring transducers which are doing in dynamic conditions that consists of building corrective operator with wavelet functions  is proposed.

Введение

Тензорезисторные средства измерительной техники, которые применяются для измерения различных механических величин, таких как сила, вес, давление, деформация и др., в настоящее время нашли распространение во многих областях производства и научных исследований. В частности, при усталостных испытаниях всевозможных транспортных конструкций (самолетов, вертолетов, автомобилей, железнодорожных вагонов и др.) применение тензорезисторных датчиков обусловлено их невысокой стоимостью и малыми массогабаритными параметрами, что позволяет наклеивать их непосредственно на испытуемую конструкцию и получать искомые параметры в нужных точках. При создании современных транспортных средств первостепенное значение приобретает проблема определения допустимого срока службы изделия и своевременного выявления элементов с относительно низкой выносливостью. Пока не существует общепринятой научно обоснованной и экспериментально подтвержденной теории, которая позволила бы расчетным путем получить достоверные данные для проектирования конструкции с заданными прочностными характеристиками, поэтому на всех этапах разработки и ввода в эксплуатацию транспортных средств производятся прочностные испытания натурных изделий. Высокая точность измерений при таких испытаниях необходима в силу следующих причин. Во-первых, число испытуемых экземпляров натурных объектов ограничено, поэтому для повышения достоверности получаемых характеристик возможное рассеивание результатов измерений необходимо свести к минимуму. Во-вторых, аналитические зависимости прочностных характеристик имеют вид степенных функций (в том числе, кривая усталости), в результате чего при измерении одного из параметров (например, величины напряжения) с погрешностью 1 % погрешность определения другого параметра (например, числа циклов до разрушения) может составить 10 % и выше. При испытаниях конструкций часто необходимо знать характер изменения во времени распределения нагрузки по всей конструкции (например, при ударных воздействиях). В результате того, что разные элементы конструкции имеют разные собственные частоты, присущая измерительным каналам испытательной системы инерционность может служить причиной искажения действительной картины напряженно-деформируемого состояния исследуемого объекта. Для устранения подобных искажений важно, чтобы динамическая составляющая погрешности измерений была минимальна.
Тензодатчики включаются в мостовую схему с выходом по напряжению, которая связана с источником питания и измерительным преобразователем (ИП) длинным кабелем. Это делает датчик восприимчивым к влиянию всевозможных электромагнитных наводок и помех, источниками которых могут быть мощные электродвигатели, высоковольтные линии электропередач, сварочные аппараты, радиостанции и др. Полезный сигнал с тензомоста составляет единицы милливольт, в то время как уровень шума в измерительном тракте достигает единиц вольт. ИП для тензодатчиков делают, как правило, по схеме усилителя типа модулятор-демодулятор (МДМ). Это позволяет компенсировать паразитные наводки, термо-ЭДС в узлах мостовой схемы, дрейф нуля, а также подавить всевозможные шумы. При этом ИП имеют недостаточно широкую полосу пропускания, что обуславливает возникновение существенной динамической погрешности при измерении переменных процессов. Во многих случаях, например, при измерении ударных воздействий, динамическая составляющая превосходит статическую погрешность, поэтому для обеспечения требуемой точности измерений при прочностных испытаниях весьма важно производить коррекцию динамических погрешностей тензометрических измерительных преобразователей алгоритмическими методами на этапе обработки измерительной информации.

  • Особенности методов решения задачи коррекции динамической погрешности

Задача коррекции динамической погрешности относится к обратным задачам и требует для решения специальный регуляризующий подход. Он сводится к ограничению области возможных решений множеством гладких функций. Теоретическую основу решения подобных задач разработал А.Н. Тихонов, а дальнейшие исследования направлены на развитие его метода и применение его для решения конкретных прикладных задач.
Проблема применения на практике метода А.Н. Тихонова состоит в том, что до настоящего времени не разработаны универсальные рекомендации по выбору параметров регуляризации. Точность решения любой задачи напрямую зависит от объема априорной информации о решении, например, о спектральном составе измеряемого сигнала или виде описывающей его функциональной зависимости, уровне и характере шумов [1]. На практике в подавляющем большинстве случаев объем априорной информации достаточно ограничен. Кроме того, измеряемые сигналы носят непериодический характер, имеют участки скачков, разрывов и другие особенности, поэтому подобрать параметры регуляризации для них очень сложно. Так при прочностных испытаниях измеряемый сигнал, как правило, задан возможной полосой частот и представляет собой непериодический сигнал, спектральные характеристики которого изменяются во времени.
Исследования показывают, что шум, присутствующий в канале, может быть принят белым, но его статистические характеристики априорно неизвестны и требуют уточнения в ходе измерений. Для таких сигналов метод обработки с целью коррекции динамической погрешности должен удовлетворять следующим требованиям:

  • возможность применения метода для обработки нестационарных сигналов произвольной формы;
  • возможность уточнения статистических параметров шума в ходе обработки результатов измерений;
  • возможность применения метода при малом объеме априорной информации о сигнале;
  • минимальное количество вычислительных процедур;
  • обеспечение минимальной среднеквадратической погрешности (СКП) восстановления искомого сигнала.

Большинство методов коррекции динамических погрешностей реализуется в частотной области. Такой подход проще с точки зрения алгоритмической сложности, так как при этом выполняются операции деления комплексных функций в спектральном окне соответствующей ширины и формы. Разделение компонентов сигнала и шума осуществляется из предположения, что шум является более высокочастотным. Если измеряемый сигнал стационарный, то такой подход вполне оправдан при условии, что параметры регуляризующего оператора каким-то образом определены. Если искомый сигнал нестационарный, то его обработку следует выполнять в определенном временном окне, уточняя при этом требуемую информацию, следовательно, необходимо иметь частотно-временное представление этого сигнала. Применение классического оконного преобразования Фурье в этом случае нерационально, так как оно имеет ряд недостатков. Во-первых, это неспособность базисной функции (синусоиды) аппроксимировать перепады и кратковременные всплески сигнала, а во-вторых, с его помощью невозможно получить одновременно высокое разрешение как по частоте, так и по времени. Для синтеза метода коррекции результатов динамических измерений нестационарных сигналов следует использовать специальный аппарат, например, вейвлет-преобразование, лишенный выше упомянутых недостатков. Применение для синтеза корректирующего оператора теории вейвлетов позволяет удовлетворить первое из поставленных требований к методу коррекции сигналов, измеряемых при прочностных испытаниях, а наличие быстрых вычислительных алгоритмов позволит минимизировать затраты времени на обработку.

  • Метод построения корректирующего оператора в базисе вейвлетов

Вейвлеты – это функции, обладающие свойством частотно-временной локализации, а их Фурье-преобразование имеет вид полосового фильтра. Совокупность функций, составляющих базис для вейвлет-преобразования, представляет собой набор полосовых фильтров с кратной шириной и определенной центральной частотой. Эти фильтры полностью покрывают область существования сигнала и способны разделять его на ряд спектральных областей. Корректирующий оператор можно получить путем умножения в частотной области характеристик этих фильтров на обратный оператор измерительного преобразователя, как это сделано в [2]. Для обеспечения возможности уточнения статистических параметров шума в ходе обработки результатов измерений построение корректирующего оператора в базисе вейвлетов следует выполнить так, чтобы операция коррекции происходила на этапе восстановления сигнала из вейвлет-коэффициентов, причем в качестве базисных следует выбирать ортогональные вейвлеты.
Пусть  – Фурье-образы соответственно вейвлет-фильтров реконструкции сигнала. Тогда частотные характеристики фильтров, из которых состоит корректирующий оператор, имеют вид:
,                                                     (1)
,                                                      (2)

где  – амплитудно-фазовая характеристика ИП.
Таким образом, корректирующий оператор представляет собой совокупность видоизмененных вейвлет-фильтров (см. рис. 1).


Рис. 1. Модули частотных характеристик вейвлет-фильтров реконструкции оператора коррекции

Далее необходимо осуществить выбор вейвлетов для синтеза корректирующего алгоритма.

  • Способ выбора вейвлетов

Выбор необходимых для синтеза корректирующего оператора ортогональных вейвлетов достаточно широк, но результаты применения каждого из них могут значительно отличаться. Анализ задачи коррекции динамической погрешности и экспериментальные исследования показывают, что в данном случае вейвлет следует выбирать исходя из требования наилучшей аппроксимации сигнала в вейвлет-базисе, так как это позволит обеспечить минимальную СКП скорректированного сигнала. Однако в первую очередь необходимо определить возможную совокупность вейвлетов, при использовании которых можно получить устойчивый алгоритм коррекции. Одним из параметров, характеризующих вейвлет, является скорость затухания его частотной характеристики. Если эта скорость меньше, чем скорость роста обратного оператора ИП, то корректирующий алгоритм не будет устойчивым. Зная динамическую модель ИП и учитывая факт, что АЧХ устройства затухает как , где n – разность степеней знаменателя и числителя модели, можно определить возможную совокупность базисов. Для ортогональных вейвлетов известны соотношения, позволяющие определить скорость затухания их характеристик. Так, например, для вейвлетов Добеши она связана с порядком вейвлета как , где М – порядок вейвлета, а .
Показателем качества выбора базиса для обработки конкретной реализации сигнала служит его информативность, количественной мерой которой является энтропия. Если сформировать критерий выбора базиса как выражение вида
,                                                       (3)
где  – энтропия базиса,  – параметр, определяющий пригодность использования базиса для данной модели ИП, то он позволит выбирать наилучший вейвлет в автоматическом режиме путем поиска экстремума функции (3). В работе [3] показано, что при выборе базиса по энтропийному критерию удается выполнить коррекцию сигнала с минимальной СКП. Если вычислять энтропию через логарифм энергии коэффициентов вейвлет-декомпозиции, то выражение (3) следует представить в виде:
,                                                                 (4)
где

Эксперименты с сигналами разных видов показали, что вейвлет, для которого значение (4) максимально по совокупности возможных, является наилучшим для синтеза корректирующего оператора по критерию минимума СКП.

  • Способ подавления шума при минимальной информации об измеряемом сигнале

В процессе коррекции динамических погрешностей измерений необходимо решить задачу подавления шума, присутствующего в зарегистрированном сигнале. Сложность решения этой задачи обусловлена в первую очередь отсутствием достаточного объема априорной информации об измеряемом сигнале. Единственное, что известно – это возможная полоса частот, а также то, что шум является аддитивным и соответствует по своим параметрам белому. При классическом подходе к решению задачи коррекции динамической погрешности компенсация искажений производится в определенном диапазоне частот. Верхние частоты при этом подавляются. Ширина окна, в котором происходит коррекция, определяется экспериментальным путем по критерию минимума СКП полученного сигнала. Для стационарных сигналов такой подход вполне приемлем, так как параметры окна остаются постоянными для любой реализации. При обработке нестационарных процессов подбирать эти параметры не представляется возможным. Также этот подход неприемлем, если спектры сигнала и шума перекрываются. В теории и практике вейвлет-фильтрации подавление шума производится во временной области, а критерием принадлежности составляющей спектра к шуму является малость ее абсолютного значения.
Вейвлет-преобразование соответствует разбиению сигнала на спектральные полосы, как показано на рис. 2.


Рис. 2. Схема разбиения спектра измеряемого сигнала в результате вейвлет-декомпозиции

На практике регистрация сигнала осуществляется с частотой, превышающей частоту, оговоренную теоремой Котельникова. Таким образом, всегда имеется хотя бы одна полоса частот или в данном случае уровень вейвлет-декомпозиции сигнала, в котором все составляющие принадлежат шуму. Так как в ортогональной системе статистические параметры шума не изменяются, то их можно определить путем вычисления по первому уровню вейвлет-декомпозиции сигнала. Тем самым, если в зарегистрированном сигнале присутствует белый шум с нулевым матожиданием, то в качестве порогового значения для его подавления предлагается принять величину
,                                                                   (5)
где  – оценка СКО коэффициентов вейвлет-разложения на первом уровне;
 – квантиль распределения.
Процедура вейвлет-фильтрации использует три способа подавления шума. Они заключаются в обработке вейвлет-коэффициентов операторами, которые называются «жестким», «мягким» и «сверхмягким». Операторы пороговой обработки имеют следующий вид:

  • жесткая пороговая обработка:

                                                                       (6)

  • мягкая пороговая обработка:

                                          (7)

  • сверхмягкая пороговая обработка:

                               (8)
Параметр  в выражении (8) выбирается из диапазона . В случае, когда , сверхмягкая обработка переходит в мягкую, а когда  фильтрация не происходит.
Анализ пороговых операторов показывает, что жесткая пороговая обработка влечет за собой значительные искажения в восстановленном сигнале, если его информативная часть содержится также и в небольших коэффициентах. Кроме того, если какой-либо коэффициент, содержащий шум, не попал в зону порогового значения, то фильтрация сигнала не происходит. Мягкая и сверхмягкая пороговые обработки предпочтительнее, когда речь идет о полном удалении шума с возможностью минимальных искажений полезной части сигнала.
Для выбора способа подавления шума при коррекции динамической погрешности проведен вычислительный эксперимент, позволивший выявить преимущества и недостатки подавления вейвлет-коэффициентов пороговыми операторами (7) и (8). Для эксперимента был сформирован сигнал, состоящий из последовательности колебательных и импульсообразных участков (см. рис. 3). Такой сигнал характерен для испытаний железнодорожных вагонов в реальных режимах движения. Спектральный состав каждого из участков различный. На этот сигнал наложен белый гауссов шум с СКЗ, равным 10 % от амплитудного значения сигнала (см. рис. 4). В качестве порогового значения задана величина , что соответствует подавлению 99,73 % шума.



Рис. 3. График экспериментального сигнала без шума


Рис. 4. График экспериментального сигнала с шумом


Фильтрация сигнала производилась сверхмягким пороговым оператором при изменении параметра  в пределах от 0 до 1. Анализ вейвлет-спектра заданного сигнала показывает, что полезные составляющие принадлежат уровням, начиная с четвертого (см. рис. 5). Так как на практике неизвестен заранее спектральный состав измеряемого сигнала, то следует проверить качество фильтрации сигнала, поочередно добавляя уровни разложения, начиная с первого.


Рис. 5. Вейвлет-преобразование заданного сигнала без шума до пятого уровня
Результаты экспериментальных данных сведены в таблицу 1. Для удобства анализа результатов построены графики зависимости СКП от значения параметра  для разложения на разное количество уровней.

Таблица 1 – Относительная СКП фильтрации сигнала, %


№ п.п.

Значение
параметра

Количество уровней разложения

1

2

3

4

5

6

  •  

0

7,2

4,7

3,1

3,6

4,9

5,7

  •  

0,1

7,2

4,8

3,3

3,5

4,6

5,3

  •  

0,2

7,3

5,0

3,7

3,8

4,6

5,1

  •  

0,3

7,5

5,4

4,3

4,3

4,8

5,2

  •  

0,4

7,7

5,9

5,0

4,9

5,3

5,5

  •  

0,5

8,0

6,6

5,8

5,7

5,9

6,0

  •  

0,6

8,4

7,2

6,7

6,6

6,6

6,7

  •  

0,7

8,8

8,0

7,6

7,5

7,5

7,5

  •  

0,8

9,3

8,7

8,5

8,4

8,4

8,4

  •  

0,9

9,8

9,5

9,4

9,3

9,3

9,3

  •  

1,0

10,0

10,0

10,0

10,0

10,0

10,0

Рис. 6. Графики зависимости СКП сигнала от параметра сверхмягкой фильтрации при декомпозиции сигнала на разное количество уровней.

Анализ таблицы и графиков показывает, что при «неглубоком» разложении сигнала лучшие результаты дает мягкий пороговый оператор, причем качество фильтрации увеличивается с ростом уровня разложения до третьего. Начиная с четвертого уровня более эффективной оказывается сверхмягкая пороговая обработка. На шестом уровне наблюдается увеличение роста погрешности, что объясняется подавлением полезных составляющих сигнала.
Подобные эксперименты повторены для измеряемых сигналов других форм. Эти эксперименты показали, что для произвольного сигнала наилучшим решением является комбинированная пороговая обработка: на начальных уровнях, где мощность полезного сигнала невелика, следует производить мягкую пороговую обработку, а на более высоких уровнях, где сосредоточена основная энергия сигнала, необходимо переходить к сверхмягкой пороговой обработке. Порог при этом лучше выбирать завышенным, т.е. равным . При таком выборе порога удаляется большая часть высокочастотного шума на начальных уровнях вейвлет-разложения, а потом в низкочастотных областях степень подавления шума будет регулироваться параметром . Анализ приведенных выше экспериментальных данных показывает, что выбираемая в его результате величина  оказывается пропорциональной количеству коэффициентов, принадлежащих полезному сигналу. Эту выявленную закономерность и предлагается брать за основу при принятии решения о величине этого параметра на уровнях сверхмягкой фильтрации в прикладных задачах, в частности при обработке результатов измерений в испытательных систем. Так, если на уровне вейвлет-декомпозиции получено N коэффициентов, то в качестве  нужно брать значение
,
где  – количество коэффициентов, превышающих по величине пороговое значение.

Выводы
Метод коррекции динамических погрешностей на основании аппарата вейвлет-преобразования является более перспективным для широкого класса средств измерительной техники, описываемых линейными моделями, чем классические методы, так как не требует для своей реализации наличия большого объема априорной информации об измеряемом сигнале. Это позволяет рекомендовать его для повышения точности обработки при измерениях, для которых характерны нестационарные сигналы, например, при прочностных испытаниях транспортных конструкций. Информация, необходимая для реализации метода, включает в себя возможную полосу частот сигнала и характер присутствующего в нем шума. Остальные необходимые данные (уровень шума и реальная полоса частот) уточняются в ходе обработки результатов. Структура фильтра, реализующего алгоритм коррекции, обеспечивает возможность уточнения статистических параметров шума. Сам фильтр строится из ортогональных вейвлетов, что позволяет обеспечить такое распределение вейвлет-коэффициентов, которое характерно для обрабатываемого сигнала, а непосредственно коррекция выполняется на этапе реконструкции сигнала из вейвлет-коэффициентов. Качество подавления шума в ходе обработки результатов измерений достигается путем комбинированной пороговой обработки коэффициентов при вычислении порогового значения на первом уровне вейвлет-разложения. Устойчивость алгоритма коррекции обеспечивается выбором вейвлета в соответствии с видом динамической модели измерительного устройства, а его точность – выбором вейвлета по критерию максимума энтропии коэффициентов разложения. Быстрые алгоритмы позволяют получить вейвлет-спектр за меньшее количество вычислительных процедур, чем при использовании преобразования Фурье, поэтому предлагаемый метод требует меньшей вычислительной мощности и успешно применен в измерительных системах для прочностных испытаний авиационных и железнодорожных конструкций.

Список литературы:

  • Солопченко Г.Н. Принцип минимального модуля в задаче реконструкции сигнала измеряемой величины / Г.Н. Солопченко // Измерительная техника. – 2001. – №8. – С.12 – 15.
  • Быкова Т.В. Синтез оператора коррекции результатов динамических измерений в базисе ортогональных вейвлетов / Т.В. Быкова // Авиационно-космическая техника и технология. – 2009. – №2(59). – С. 103 –108.
  • Быкова Т.В. Способ выбора вейвлет-базиса для коррекции динамических погрешностей / Т.В. Быкова, Г.А. Черепащук // Метрологія та вимірювальна техніка (Метрологія-2008) : наук. праці VI Міжнар. наук.-техн. конф., 14 – 16 жовтня 2008 р. – Харків, 2008. – Т. 2, С. 309 – 312.